关于多元 Gabor 系统的结构及高斯 Gabor 框架的一个结果

我们在 $\mathbb{R}^{2d}$ 中的格点集上引入一个等价关系，使得等价的格点支持相同的 Gabor 系统结构（在酉等价意义下，我们定义了该概念）。这些等价类由 $\mathbb{R}^{2d}$ 上的辛形式参数化，并且它们由通过辛变换相关的格点组成。这意味着 $2d^2 - d$ 个参数足以描述 $\mathbb{R}^{2d}$ 中格点上 Gabor 系统的可能结构，而格点的选择有 $4d^2$ 个自由度。我们还证明（除了一个与复共轭相关的微小复杂情况外），辛变换是实现此类等价的时频平面的唯一线性变换，从而在 Gabor 分析的背景下将辛变换刻画为时频平面的结构保持变换。此外，我们研究了以可分离格点为代表的等价类，并发现这种情况下的参数空间是 $d^2$ 维的。我们提供了一个显式例子，表明具有无理格点的不可分离格点可以表现得与可分离和有理格点完全相同。这种方法还使我们能够表述并证明高斯 Gabor 框架的 Lyubarskii-Seip-Wallstén 定理的高维变体。这为我们提供了对于 $\mathbb{R}^{2d}$ 中一大类格点（包括所有辛格点），$d$ 参数高斯族生成 Gabor 框架的充要条件。