关于具有状态导数相关时滞的二阶泛函微分方程的解

本文研究了形如 $a_2x"(z) + a_1x'(z) + a_0x(z) = x(p(z) + bx'(z)) + h(z)$ 的具有状态导数相关时滞的二阶微分方程。考虑辅助方程 $a_2 \gamma^{2} g"(\gamma z) g'(z) = [g (\gamma^2 z) - p(g(\gamma z))] \gamma g'(\gamma z)(g' (z))^{2} + bh'(g(z))(g' (z))^{3} + \Big( a_2p"(g(z))+ a_1p'(g(z)) +a_0p(g(z))\Big) (g'(z))^{3} - a_1\gamma g'(\gamma z) (g' (z))^{2} - a_0g(\gamma z)(g'(z))^{3} + a_2\gamma g'(\gamma z)g"( z)$ 的收敛幂级数 $g(z)$，在关系式 $p(z) + bx'(z) = g(\gamma g^{-1}(z))$ 下，我们获得了解析解 $x(z)$。此外，该解析解依赖于满足以下条件之一的参数 $\gamma$：$(H1) \ 0<|\gamma|<1,$ $(H2) \ \gamma = e^{2\pi i \theta }$ 其中 $\theta$ 为 Brjuno 数，或 $(H3) \ \gamma = e^{2\pi i \theta }$ 其中 $\theta$ 为有理数。