关于由一点质量连接的两根非均匀欧拉-伯努利梁的特征值单纯性

本文考虑一个模拟由一点质量连接的两根非均匀 Euler-Bernoulli 梁的振动的线性系统。该系统由以下方程生成\bea &&\rho(x)y_{tt}(t,x)+(\sigma(x)y_{xx}(t,x))_{xx}-(q(x)y_{x}(t,x))_{x}=0,~t>0,~x \in (-1,0)\cup(0,1), &&M y_{tt}(t,0)=${T}y(t,x)$_{\mid_{x=0^-}}-${T}y(t,x)$_{\mid_{x=0^+}},~~t>0,\eea 两端为铰接边界条件，其中 ${T}y = (\se(x)y_{xx})_{x} - q(x)y_x$。我们证明所有相关的特征值 \(\la_n\)_{n\geq1} 在代数上是单纯的，并且相应的特征函数 \(\phi_n\)_{n\geq1} 满足对所有 $n\geq1$ 有 $\phi_n'{T}{\phi}_{n}(-1)>0$ 和 $\phi_n'{T}{\phi}_{n}(1)<0$。这些结果为解决与该系统的各种控制与稳定性问题提供了关键。