关于非负与 Metzler Hessenberg 形式的相似性

我们通过考虑非负矩阵与 Metzler 矩阵到非负及 Metzler Hessenberg 矩阵的相似性，研究为这两类矩阵建立标准形式的问题。结果表明，对于维数 $n \geq 3$，总存在一类非负矩阵子集不与非负 Hessenberg 形式相似，而在 $n=3$ 的情形下，这也给出了所有此类矩阵的完整刻画。对于 Metzler 矩阵，我们进一步证明当 $n \leq 4$ 时它们与 Metzler Hessenberg 矩阵相似。特别地，这通过正控制器-Hessenberg 形式为可控三阶连续时间正系统提供了首个标准形式。最后，我们给出一个例子，说明为何该结果不易推广到离散时间正系统。尽管我们的许多补充结果是在一般情形下证明的，但维数 $n \geq 5$ 的 Metzler 矩阵是否仍与 Metzler Hessenberg 矩阵相似仍是一个开放问题。