关于幂零群中子群按群的根类可分离性

设 $\mathcal{C}$ 是由仅含周期群的类，$\mathfrak{P}(\mathcal{C})^{\prime}$ 是不整除任何 $\mathcal{C}$-群中元素阶的素数集合。群 $X$ 的子群 $Y$ 称为 a) 在该群中 $\mathcal{C}$-可分离，若对每个 $x \in X \setminus Y$，存在 $X$ 到 $\mathcal{C}$ 中某个群上的同态 $\sigma$ 使得 $x\sigma \notin Y\sigma$；b) 在 $X$ 中 $\mathfrak{P}(\mathcal{C})^{\prime}$-孤立，若对任意 $x \in X$、$q \in \mathfrak{P}(\mathcal{C})^{\prime}$，包含关系 $x^{q} \in Y$ 蕴含 $x \in Y$。易见若 $Y$ 在 $X$ 中 $\mathcal{C}$-可分离，则它在该群中 $\mathfrak{P}(\mathcal{C})^{\prime}$-孤立。称 $X$ 具有性质 $\mathcal{C}\mbox{-}\mathfrak{Sep}$，若其所有 $\mathfrak{P}(\mathcal{C})^{\prime}$-孤立子群均为 $\mathcal{C}$-可分离。我们给出一个充分条件，使得当 $\mathcal{C}$ 为根类（即含非平凡群，且对取子群、扩张及形如 $\prod_{v \in V}U_{v}$ 的笛卡尔积封闭，其中 $U, V \in \mathcal{C}$ 且对每个 $v \in V$，$U_{v}$ 为 $U$ 的同构副本）时，幂零群 $N$ 具有性质 $\mathcal{C}\mbox{-}\mathfrak{Sep}$。我们还证明若 $N$ 无挠，则所述条件对该群具有 $\mathcal{C}\mbox{-}\mathfrak{Sep}$ 是必要的。