关于 $p$-进解析 pro-$p$ 群的自相似指数

设 $p$ 为素数。称一个 pro-$p$ 群是指数为 $p^k$ 的自相似群，若它在一个 $p^k$ 叉正则 rooted 树上容许一个忠实的、在第一层上传递的自相似作用。一个自相似 pro-$p$ 群 $G$ 的自相似指数定义为最小的 $p$ 的幂，记为 $p^k$，使得 $G$ 是指数为 $p^k$ 的自相似群。我们证明：对每个素数 $p\geqslant 3$ 与所有整数 $d$，存在无穷多两两不同构的、自相似指数大于 $d$ 的三维遗传恰无限一致 pro-$p$ 群。这意味着，一般而言，对自相似 $p$-进解析 pro-$p$ 群，无法将自相似指数仅由群的维数所依赖的函数来界定。