关于半随机随机块模型中谱算法的鲁棒性

在图二分问题中，给定一个具有两个大小相等且无标签社区的图$G$，目标是恢复这些社区中的顶点。一种流行的启发式方法称为谱聚类，它基于$G$的拉普拉斯矩阵的第二小特征值对应的特征向量输出估计的社区分配。对于从某些概率模型（如随机块模型（SBM））生成的图，谱算法可以证明恢复聚类结构。然而，已知谱聚类对模型误设不具有鲁棒性。基于半定规划的技术已被证明更鲁棒，但它们会带来显著的计算开销。在这项工作中，我们研究谱算法对半随机对手的鲁棒性。非正式地说，半随机对手被允许以与真实解一致的方式“帮助性地”改变模型的规范。特别地，我们的半随机对手被允许在簇内添加边或增加簇内出现边的概率。半随机对手是确定算法在多大程度上过度拟合输入统计假设的有用工具。在积极方面，我们识别出一些半随机对手类别，在这些类别下使用_未归一化_拉普拉斯矩阵的谱二分是强一致的，即它精确恢复 planted 划分。在消极方面，我们表明在这些类别中，使用_归一化_拉普拉斯矩阵的谱二分输出的划分会在常数比例的顶点上产生分类错误。最后，我们展示数值实验以补充我们的理论发现。