谱图二分的新能力与局限性

基于谱的启发式方法属于著名的常用方法，它能确定可证明的最小图二分，或在无法认证最优性时输出“失败”。在本文中，我们关注属于此类最杰出方法之一的 Boppana 算法。众所周知，该算法在随机\emph{植入二分模型}（分析最小二分及相关问题的标准图类）中表现良好。2001 年，Feige 和 Kilian 提出了一个问题：Boppana 算法在 Blum 和 Spencer 的半随机模型中是否表现良好。在本文中，我们对这个问题给出了肯定回答。我们还表明，该算法在扩展了半随机模型的图类上取得了类似的性能。由于 Boppana 算法在半随机图上的行为尚属未知，Feige 和 Kilian 提出了一种新的基于半正定规划（SDP）的方法并证明了它适用于该模型。基于 SDP 的算法与 Boppana 方法性能之间的关系被留作一个开放问题。在本文中，我们通过证明 Feige 和 Kilian 的二分算法与 Boppana 算法提供完全一致的结果，完整地解决了该问题。作为推论，我们得出 Boppana 算法在\emph{随机块模型}中达到了精确簇恢复的最优阈值。另一方面，我们证明了 Boppana 方法的一些局限性：我们表明，如果植入二分模型参数上的密度差异过小，则该算法在该模型中以高概率失败。