论半离散最优传输的鲁棒性

我们推导了半离散最优传输问题解的崩溃点，这刻画了 \cite{GS} 中提出的基于最优传输的多变量分位数的鲁棒性。我们在非常温和的假设下做到了这一点：仅假设绝对连续参考测度具有 \textcolor{mygreen}{凸} 支撑，而目标测度是有限个（设为 $n$ 个）原子上的广义离散测度。崩溃点仅通过目标测度的概率权重（因此不依赖于原子的位置）依赖于目标测度，并通过 \cite{Tuk1975} 的半空间深度概念涉及参考测度的几何结构。值得注意的是，取决于这种几何结构，最优传输中位数的崩溃点可能严格小于单变量中位数的崩溃点或空间中位数的崩溃点，即~$\lceil n/2\rceil /2$。在鲁棒位置估计的背景下，我们的结果为在构建基于最优传输的修剪均值时如何执行多变量修剪提供了深刻的见解。