关于全幺模矩阵在双向图上的可表示性

Seymour关于正则拟阵的著名分解定理指出，任何全幺模（TU）矩阵都可以通过一系列称为$k$-和的组合运算构造而成，这些运算从网络矩阵及其转置以及某个十元素拟阵的两个紧致表示矩阵$B_{1}, B_{2}$开始。鉴于$B_{1}, B_{2}$是双网络矩阵，我们研究了网络矩阵和双网络矩阵的$k$-和。结果表明，网络矩阵和双网络矩阵的$k$-和是双网络矩阵，但双网络矩阵在$k=2,3$时对此运算不封闭。引入了一类新的矩阵，即所谓的{\em 环游矩阵}，它推广了网络矩阵、双网络矩阵和全幺模矩阵。对于任何这样的矩阵，存在一个双向图，使得列表示图中一组闭环游。结果表明，环游矩阵在$k$-和运算下封闭，也在主元变换及其行和列的其他基本运算下封闭。鉴于上述关于$k$-和运算结果的构造性证明以及现有的网络矩阵和双网络矩阵识别算法，提出了一种为任何TU矩阵构造双向图的算法。