关于半代数集的半代数 Stone-C\v{e}ch 紧化的剩余部分

在本工作中，我们分析了半代数集 $M\subset{\mathbb R}^m$ 的半代数 Stone-C\v{e}ch 紧化 $\beta_s^* M$ 的剩余部分 $\partial M:=\beta_s^* M\setminus M$ 的一些拓扑性质，以将其点与 $M$ 的点“区分”开。为此，我们证明 $\beta_s^* M$ 中在 $\beta_s^* M$ 内容许可度量化邻域的点集等于 $M_{\rm lc}\cup( {\rm Cl}_{\beta_s^* M}(\overline{M}_{\leq1})\setminus\overline{M}_{\leq1})$，其中 $M_{\rm lc}$ 是 $M$ 的最大局部紧稠密子集，$\overline{M}_{\leq1}$ 是 $M$ 中 $1$ 维点集在 $M$ 内的闭包。此外，我们分析了与形式和半代数路径相关的自由极大理想集合 $\widehat{\partial}M$ 和 $\widetilde{\partial}M$ 的性质。我们证明二者均为剩余部分 $\partial M$ 的稠密子集，且差集 $\partial M\setminus\widehat{\partial}M$ 与 $\widehat{\partial} M\setminus\widetilde{\partial}M$ 也是 $\partial M$ 的稠密子集。此外，所有 $\widehat{\partial}M$ 中的点在 $\beta_s^* M$ 中均具有可数邻域系。