关于 Mori 梦空间的相对版本

本文致力于研究 Mori 梦空间（简称 MDS）的相对版本，该概念首先由 Andreatta 与 Wiśniewski 引入，本文称之为 Mori 梦态射（MDM）。一个 MDM 定义为正规拟射影簇之间的代数纤维空间 $X \to U$，满足 $\operatorname{Pic}(X/U)_{\mathbb{Q}}=\operatorname{N} ^1(X/U)_{\mathbb{Q}}$，且（相对）可动锥分解为有限多个小 $\mathbb{Q}$-阶乘修改的半丰沛锥之并，其中每个修改均假定为有理多面体。MDS 是 $U$ 为一点时的 MDM。我们证明在 MDM 上对任意除子 $D$，相对 $D$-MMP 可运行并终止于一个好的 $D$-极小模型或 $D$-Mori 纤维空间；并证明满足 $\operatorname{Pic}(X/U)_{\mathbb{Q}}= \operatorname{N} ^1(X/U)_{\mathbb{Q}}$ 的代数纤维空间是 MDM 当且仅当其 Cox 层在 $U$ 上有限生成。这些是 Hu 与 Keel 关于 MDS 的基本结果向 MDM 的推广。我们还证明若两个代数纤维空间 $f$ 与 $g$ 的复合是 MDM，则 $f$ 与 $g$ 也都是 MDM。最后我们研究 MDM 的基变换。我们证明若 MDM 经 proper flat 态射作基变换，且基变换是正规 $\mathbb{Q}$-阶乘并且其上的任意 $\mathbb{Q}$-线丛可下降到原 MDM，则所得基变换仍为 MDM。