关于完全子图重数的轮廓

设 $G$ 为具有 $n$ 个顶点的完全图的一个 $2$-染色，其中 $n$ 足够大。我们证明 $G$ 包含至少 $n^{(\frac{1}{4} - o(1))\log n}$ 个大小为 $r$ 的单色完全子图，其中 $$0.3\log n < r < 0.7\log n.$$ 此前关于单色完全子图总数的已知下界由 Sz\'{e}kely 给出，为 $n^{0.1576\log n}$。我们还证明 $G$ 包含至少 $n^{\frac{1}{7} \log n}$ 个大小为 $\frac{1}{2}\log n$ 的单色完全子图。如果进一步假设 $G$ 中最大的单色完全子图大小为 $(\frac{1}{2} + o(1))\log n$（此类图是否存在是一个众所周知的开放问题），则对于每个常数 $0 \le c \le \frac{1}{2}$，我们确定了（在低阶项误差范围内）大小为 $c \log n$ 的单色完全子图的数量。我们通过证明一个与 Sz\'{e}kely 此前的上界相匹配（在低阶项误差范围内）的下界来实现这一点。例如，大小为 $\frac{1}{2} \log n$ 的单色完全子图的数量为 $n^{\frac{1}{8}(4 - \log e \pm o(1))\log n} \simeq n^{0.32 \log n}$。