关于有限间隙属性序列的偶关联统计量

序列 $(x_N)_{N \in \mathbb{N}}$ 在圆环 $\mathbb{T}^1$ 上的偶关联统计量的极限函数 $f(s)$ 称为:\n\n$$\frac{1}{N} \# \left\{ 1 \leq i\neq j\leq N \ \middle\vert \ \left\lVert x_i - x_j \right\rVert \leq \frac{s}{N} \right\}$$\n\n若其存在且对所有 $s \geq 0$ 均等于 $2s$，则称为泊松分布的。例如，独立均匀分布的随机变量通常具有此属性。显然，若 $f(s)$ 存在，则必为单调函数。只有少数序列满足 $f(s) \neq 2s$ 且可显式计算极限的情形。因此，问题仍未解决：哪些类型的函数 $f(s)$ 可以或不能出现在此处。本文通过考察序列中不同间隙长度数量为有限的情况，给出部分答案，表明此时 $f(s)$ 不能为连续函数。