对偶 Lax 对及其 $r$-矩阵结构的起源

我们建立了作者与合作者先前所做以下观察的代数起源：(i) 在 Zakharov-Shabat 框架内，一个与 Lax 对相关的 $1+1$ 维可积偏微分方程可以写成两种不同的对偶哈密顿形式；(ii) 每种形式都关联一个泊松括号和一个相空间（它们在 Magri 意义下不相容）；(iii) Lax 对中的每个矩阵都满足一个以 Sklyanin 方式刻画的线性泊松代数，其特征由相同的经典 $r$ 矩阵给出。我们发展了对偶 Lax 对和可积场论对偶哈密顿形式的一般概念。我们通过将其追溯至圈代数 ${\rm sl}(2,\mathbb{C}) \otimes \mathbb{C}(\lambda, \lambda^{-1})$ 的一个合适余伴随轨道上的单个李-泊松括号，阐明了共同 $r$-矩阵结构的起源。这些结果通过非线性薛定谔方程族和 Gerdjikov-Ivanov 方程族的例子加以说明。