关于三次曲面的Mordell-Weil生成元个数

设 $S$ 是域 $K$ 上的光滑三次曲面。众所周知，新的 $K$-有理点可以通过割线和切线构造从旧点得到。Mordell-Weil 生成集是 $S(K)$ 的一个子集 $B$，其基数最小，且通过逐次割线和切线构造生成 $S(K)$。令 $r(S,K)$ 为这样一个 Mordell-Weil 生成集的基数。Manin 提出了三次曲面的所谓 Mordell-Weil 问题：如果 $K$ 在其素子域上有限生成，则 $r(S,K)$ 是有限的。在本文中，我们证明了该猜想的一个特例。即，如果 $S$ 包含两条均在 $K$ 上定义的异面直线，则 $r(S,K) = 1$。研究三次曲面上割线和切线过程的困难之一在于，它不像椭圆曲线情形那样导致一个结合二元运算。作为部分补救，我们引入了一个与三次曲面 $S/K$ 相关的阿贝尔群 $H_S(K)$，它自然由 $K$-有理点生成，并保留了关于割线和切线过程的许多信息。特别地，只要 $H_S(K)$ 的最小生成元个数很大，$r(S,K)$ 就很大。在弱逼近成立的情形下，$H_S$ 具有良好的局部-整体性质。我们利用这些性质构造了一个有理数上的光滑三次曲面族，使得 $r(S,K)$ 在该族中无界。这是椭圆曲线秩无界猜想的三次曲面类比。