关于有标号二部图的数量

设 $I$ 和 $O$ 表示两个顶点集，其中 $I\cap O =\emptyset$，$|I| = n$，$|O| = r$，并设 $B_u(n,r)$ 表示边连接 $I$ 和 $O$ 中顶点的无标号图集合。最近，文献 \cite{atmacaoruc2018} 证明了以下双侧等式成立，\begin{equation} \label{mainResult} \displaystyle \frac{\binom{r+2^{n}-1}{r}}{n!}\, \le\, |B_u(n,r)|\, \le\, 2\frac{\binom{r+2^{n}-1}{r}}{n!},\, n < r.\nonumber \end{equation} 并且文献 \cite{atmaca2017size} 给出了 $|B_u(2,r)|$ 和 $|B_u(3,r)|$ 的精确公式。在本文中，这些结果被推广到各类有标号二部图族。