无标号二部图的数量

本文解决了M. A. Harrison于1973年提出的一个问题~\cite{harrison1973number}。该问题自那时起一直未解，涉及在行与列置换下$n\times r$二元矩阵的等价类计数。令$I$和$O$表示两个顶点集，其中$I\cap O =\Phi$，$|I| = n$，$|O| = r$，且$B_u(n,r)$表示边连接$I$与$O$中顶点的无标号图集合。Harrison确立$n\times r$二元矩阵的等价类数目等于$B_u(n,r)$中无标号图的数目。他还计算了$n$和$r$较小时此类矩阵（因而此类图）的数目，但未给出渐近公式$|B_u(n,r)|$。此处，通过利用Polya计数定理证明如下双向等式，给出了这样的渐近公式。