闭合曲面的最优量化器中的缺陷数目：以六边形 torus 为例

我们提出了一种用于证明闭合曲面（即无边界的紧致2型流形）上n生成最优量化器中缺陷数目（非六边形Voronoi单元）的渐近上界策略。该计划基于最优量化误差的一般下界，以及由Goldberg-Coxeter构造产生的L"oschian数n（即埃米森整数范数）相关的上界。采用间隙引理来将缺陷数的渐近问题简化为L"oschian数之间间隙的渐近问题。我们在六边形 torus 上应用该策略，并证明缺陷数的上界为O(n^{1/4})——严格少于带边界的曲面——并推测（基于数论L"oschian间隙猜想）实际上为O(log n)。此外，该方法还给出Voronoi单元面积方差的相关上界。我们进一步展示了该缺陷数界在优化器附近也成立。最后，我们说明在2球上实现的剩余问题。