T-曲面连通分量数的问题

T-曲面是实投影丘托变量 $Y$ 的实点集合的组合曲面。它由对动力学多面体 $P$ 的原始三角化 $K$ 以及以 $\mathbb{F}_2$ 为系数域的 $K$ 上的 $0$ 阶 1-链 $\varepsilon$（称为符号分布）构成。O. Viro 证明当 $K$ 为凸时，T-曲面在平滑共轨下等同于 $Y$ 的实代数曲面。A. Renaudineau 和 K. Shaw 给出了 T-曲面的 Betti 数上界，以 $Y$ 中任意截面的足够大线束 $L$ 关联的 Hodge 数的函数表示。特别是，T-曲面的连通分量数不能超过其截面几何生成数加一。在本文中，我们研究该上界是否可达。我们能够 characterize 实现 Renaudineau-Shaw 上界的 T-曲面的连通分量数的 $(K;\varepsilon)$ 对。该定理推广了 B. Haas 关于 T-曲线的定理。与此结果相反，我们发现该上界在每个原始三角化上并非总是可达的。对于其中不可达的一些，我们提供了更精确的上界。最后，我们利用我们的 characterization 表明，总存在一个三角化和一个符号分布在标准单纯形上能够达到 Renaudineau-Shaw 上界。我们还研究了 T-曲面在动力学多面体扩张 $d$ 倍（即将线束 $d$ 次与自身张量积）时预期连通分量数的增长，证明其总是 $d^n$ 的阶数，其中 $n$ 为 $P$ 的维数。