关于 Niho 型局部 APN 幂函数及其回飞棒谱

在本文中，我们关注由 Blondeau、Canteaut 和 Charpin 引入的局部 APN 性概念（“APN”是著名概念 Almost Perfect Nonlinear（几乎完美非线性）的缩写），该概念在差分均匀性方面使 S 盒的族在一定程度上扩大，因此可能成为对抗差分攻击（或其变体）更合适的候选。具体而言，给定两个互素正整数 $m$ 和 $k$ 使得 $\gcd(2^m+1,2^k+1)=1$，我们研究有限域 ${\mathbb F}_{2^{2m}}$ 上形如 $F(x)=x^{s(2^m-1)+1}$ 的无穷族 Niho 型幂函数的局部 APN 性，其中 $s=(2^k+1)^{-1}$，$(2^k+1)^{-1}$ 表示模 $2^m+1$ 的乘法逆元。通过对有限域（偶特征）上某些方程解的个数进行更精细的研究以及对一些方程的巧妙求解，我们证明 $F(x)$ 是局部 APN 并确定其差分谱。值得注意的是，计算机实验表明该类局部 APN 幂函数在 $2\leq m\leq10$ 时覆盖了所有 Niho 型局部 APN 幂函数。此外，我们还利用 $F(x)$ 的差分谱确定了其回飞棒谱，这特别推广了 Yan、Zhang 和 Li 近期的结果。