关于 Ulam-Kac 加法器的矩

设 $\{U(n)\}_{n \geq 0}$ 为一列独立随机变量，且 $U(n)$ 在 $\{0, 1, 2 \dots n\}$ 上均匀分布。Ulam-Kac 加法器是由 $X_{n + 1} = X_{n} + X_{U(n)}$ 及初值条件 $X_0 = 1$ 定义的历史依赖随机序列。我们证明对每个 $m \geq 1$，当 $n \to \infty$ 时 $\log E[X_n^m]/\sqrt{n}$ 趋于常数 $c_m$。并给出了常数 $c_m$ 的宽松界。