关于峰均比最小化问题的研究
偏微分方程分析
2025-10-15 v2
摘要
设 Ω ⋐ R n \Omega \Subset \mathbb R^n Ω ⋐ R n H \mathrm H H n , k , N ∈ N n,k,N \in \mathbb N n , k , N ∈ N p ∈ [ 1 , ∞ ] p\in [1,\infty] p ∈ [ 1 , ∞ ] E p ( u ) : = ∥ H ( ⋅ , u , D u , … , D k u ) ∥ L p ( Ω ) , u ∈ W k , p ( Ω ; R N ) . \mathrm E_p(u) := \big\| \mathrm H \big(\cdot,u,\mathrm D u, \ldots, \mathrm D^ku \big) \big\|_{\mathrm L^p(\Omega)},\ \ \ u\in \mathrm W^{k,p}(\Omega;\mathbb R^N). E p ( u ) := H ( ⋅ , u , D u , … , D k u ) L p ( Ω ) , u ∈ W k , p ( Ω ; R N ) . L ∞ L^\infty L ∞ C ∞ , p ( u ∞ ) = inf { C ∞ , p ( u ) : u ∈ W φ k , ∞ ( Ω ; R N ) , E 1 ( u ) ≠ 0 } , \mathrm C_{\infty,p}(u_\infty\,)=\, \inf \Big\{\mathrm C_{\infty,p}(u) \ : \ u\in \mathrm W^{k,\infty}_\varphi(\Omega;\mathbb R^N), \ \mathrm E_1(u)\neq 0 \Big\}, C ∞ , p ( u ∞ ) = inf { C ∞ , p ( u ) : u ∈ W φ k , ∞ ( Ω ; R N ) , E 1 ( u ) = 0 } , φ ∈ W k , ∞ ( Ω ; R N ) \varphi\in \mathrm W^{k,\infty}(\Omega;\mathbb R^N) φ ∈ W k , ∞ ( Ω ; R N ) p p p C ∞ , p ( u ) : = E ∞ ( u ) E p ( u ) . \mathrm C_{\infty,p}(u)\, := \, \frac{\mathrm E_\infty(u)}{\mathrm E_p(u)} . C ∞ , p ( u ) := E p ( u ) E ∞ ( u ) . C ∞ , 2 \mathrm C_{\infty,2} C ∞ , 2 { ∣ H ( ⋅ , u , D u , … , D k u ) ∣ = Λ , a.e. in Ω , u = φ , on ∂ Ω , D u = D φ , on ∂ Ω , ⋮ ⋮ D k − 1 u = D k − 1 φ , on ∂ Ω . \left\{ \ \ \begin{array}{ll} \big| \mathrm H \big(\cdot,u,\mathrm D u, \ldots, \mathrm D^ku \big) \big|= \Lambda, & \text{ a.e.\ in }\Omega, \\ u = \varphi, & \text{ on }\partial \Omega,\\ \mathrm D u = \mathrm D \varphi, & \text{ on }\partial\Omega, \vdots & \vdots \\ \mathrm D^{k-1}u = \mathrm D^{k-1}\varphi, & \text{ on }\partial\Omega. \end{array} \right. ⎩ ⎨ ⎧ H ( ⋅ , u , D u , … , D k u ) = Λ , u = φ , D u = D φ , D k − 1 u = D k − 1 φ , a.e. in Ω , on ∂ Ω , on ∂ Ω , ⋮ on ∂ Ω. ⋮ H \mathrm H H ( u , Λ ) ∈ W φ k , ∞ ( Ω ; R N ) × [ Λ ∗ , ∞ ) (u,\Lambda) \in \mathrm W^{k,\infty}_\varphi(\Omega;\mathbb R^N) \times [\Lambda_*,\infty) ( u , Λ ) ∈ W φ k , ∞ ( Ω ; R N ) × [ Λ ∗ , ∞ ) Λ ∗ ≥ 0 \Lambda_*\geq0 Λ ∗ ≥ 0 k = 1 k=1 k = 1 n = N n=N n = N
引用
@article{arxiv.2504.03972,
title = {On the minimisation of the Peak-to-average ratio},
author = {Nikos Katzourakis},
journal= {arXiv preprint arXiv:2504.03972},
year = {2025}
}
备注
13 pages