关于高维超球填充密度的下界

定义 $\mathbb{R}^n$ 中半径为 $r$、中心为 ${\boldsymbol 0}$ 的超球为集合 $$\left\{{\boldsymbol x}\in\mathbb{R}^n:\sum_{j=1}^{m}\left(x_{k_j+1}^2+x_{k_j+2}^2+\cdots+x_{k_{j+1}}^2\right)^{p/2}\leq r^p\right\},0=k_1<k_2<\cdots<k_{m+1}=n,$$ 其为 $\ell_p$-球的推广。对于 $1<p\leq2$，$\mathbb{R}^n$ 中超球的平移填充密度为 $\Omega(n/2^n)$，我们针对这一著名结果给出两种新证明。该界首先由 Schmidt 得到，随后 Rogers 与 Schmidt 分别改进了常数因子。我们的第一个证明基于硬超球模型，第二个证明基于图的独立数。我们还研究了填充的熵，其度量了此类填充的丰富程度。