关于 Brent 方程解的局部维数

设 $\langle m,n,p \rangle$ 为矩阵乘法张量。Brent 方程的解集对应于 $\langle m,n,p \rangle$ 的张量分解。我们研究 Brent 方程在复数域上解的局部维数。Brent 方程雅可比矩阵的秩给出了局部维数的一个上界,这是众所周知的。我们计算了一些典型已知解的秩,这些解由数据库 \cite{Faw22+} 和 \cite{Heule19} 提供。我们证明了计算 $\langle m,n,p \rangle$ 的自然算法的自同构群为 $(\mathcal{P}_m\times \mathcal{P}_n\times \mathcal{P}_p)\rtimes Q(m,n,p)$,其中 $\mathcal{P}_m$、$\mathcal{P}_n$ 和 $\mathcal{P}_p$ 为广义置换矩阵群,$Q(m,n,p)$ 是依赖于 $m$、$n$ 和 $p$ 的 $S_3$ 的子群。对于其他计算 $\langle m,n,p \rangle$ 的算法,给出了一些条件,这些条件意味着相应的自同构群同构于 $(\mathcal{P}_m\times \mathcal{P}_n\times \mathcal{P}_p)\rtimes Q(m,n,p)$ 的子群。因此在这些条件下,$m^2+n^2+p^2-m-n-p-3$ 是 Brent 方程解局部维数的一个下界。此外,我们讨论了上下界之间的差距。