关于 $1$-流形上微分同胚群的大尺度几何

我们应用 Rosendal 的框架研究拓扑群 $\Diff_+^k(M^1)$ 的大尺度几何，该群由紧致 $1$-流形 $M^1$ ($=I$ 或 $\mathbb{S}^1$) 的保向 $C^k$-微分同胚（对于 $1\leq k\leq\infty$）组成。我们刻画了此类群中的相对性质 (OB)：$A\subseteq\Diff_+^k(M^1)$ 具有相对于 $\Diff_+^k(M^1)$ 的性质 (OB) 当且仅当 $\displaystyle\sup_{f\in A}\sup_{x\in M^1}|\log f'(x)|<\infty$ 且对于每个整数 $2\leq j\leq k$ 有 $\displaystyle\sup_{f\in A}\sup_{x\in M^1}|f^{(j)}(x)|<\infty$。我们推断 $\Diff_+^k(M^1)$ 具有局部性质 (OB)，从而具有定义良好的非平凡拟等距类，当且仅当 $k<\infty$。我们证明了群 $\Diff_+^1(I)$ 和 $\Diff_+^1(\mathbb{S}^1)$ 与无限维 Banach 空间 $C[0,1]$ 拟等距。