关于 James 与 Hilton-Milnor 分裂及亚稳 EHP 序列

本注记给出了代数拓扑中若干经典结果的现代证明，例如 James 分裂、Hilton-Milnor 分裂以及亚稳 EHP 序列。我们在具有有限极限和推出且推出平方在沿任意态射基变换后仍为推出（即 Mather 第二立方引理成立）的 $\infty$-范畴的最大一般性下证明基本分裂结果 \begin{equation*} \Sigma \Omega \Sigma X \simeq \Sigma X \vee (X\wedge \Sigma\Omega \Sigma X) \quad \text{and} \quad \Omega(X \vee Y) \simeq \Omega X\times \Omega Y\times \Omega \Sigma(\Omega X \wedge \Omega Y) \end{equation*}。对连通对象，这些蕴含经典的 James 和 Hilton-Milnor 分裂。此外，在此一般性下工作表明 James 和 Hilton-Milnor 分裂在许多新情境中成立，例如：初等 $\infty$-拓扑、profinite 空间以及任意基概型上的动理空间。最后这一情境中的分裂结果推广了 Wickelgren 和 Williams 关于完美域上动理空间的分裂结果。我们还给出了 $\infty$-拓扑中亚稳 EHP 序列的两个证明：第一个是新的、非计算的证明，仅利用涉及 James filtration 和 Blakers-Massey 定理的基本连通性估计；第二个则化归为经典的计算证明。