关于 Banach 的等距猜想

设 $V$ 为一个 Banach 空间，其中对固定的 $n$，$1<n<\dim(V)$，其所有 $n$ 维子空间均等距。1932 年，Banach 问在此假设下 $V$ 是否必为 Hilbert 空间。Gromov 于 1967 年对偶数 $n$ 及所有 $V$ 给出了肯定回答。本文对实 $V$ 及形如 $n=4k+1$ 的奇数 $n$ 给出了肯定回答，可能的例外为 $n=133$。我们的证明依赖于 ${\mathbb{R}}^n$（$n\geq 5$）中椭球的一个新刻画：即作为唯一的对称凸体，其所有线性超平面截口均为线性等价的仿射旋转体。