关于准周期 Schr"odinger 方程的逆谱问题

我们研究准周期 Schr"odinger 方程 $$-\psi"(x) + V(x) \psi(x) = E \psi(x), \qquad x \in \IR$$ 在势函数 $V$ 为“小”量时的性质。设 $(E_m',E"_m)$，$m \in \zv$，为谱中的标准标记间隙。我们的主要结果表明，如果对于所有 $m \in \zv$，有 $E"_m - E'_m \le \ve \exp(-\kappa_0 |m|)$，其中 $\ve$ 足够小（取决于 $\kappa_0 > 0$ 及所涉频率向量），则 $V$ 的 Fourier 系数满足 $|c(m)| \le \ve^{1/2} \exp(-\frac{\kappa_0}{2} |m|)$。另一方面，我们证明如果 $|c(m)| \le \ve \exp(-\kappa_0 |m|)$，其中 $\ve$ 足够小（取决于 $\kappa_0 > 0$ 及所涉频率向量），则 $E"_m - E'_m \le 2 \ve \exp(-\frac{\kappa_0}{2} |m|)$。