半线性椭圆 PDE 中非光滑叠加算子的辨识与优化

我们研究一类无穷维优化问题，旨在辨识原型半线性椭圆偏微分方程（PDE）非线性部分中的 Nemytskii 算子，使 PDE 解与给定期望状态的距离最小。与以往工作不同，我们在低正则性框架下考虑该辨识问题，其中诱导 Nemytskii 算子的函数先验仅知为 $H^1_{loc}(\mathbb{R})$ 的元素。这使得所研究的问题类成为严谨分析以学习驱动的 PDE 训练问题的合适起点，其中未知叠加算子借助具有非光滑激活函数（ReLU、leaky-ReLU 等）的神经网络逼近。我们确立，尽管控制具有低正则性，仍可为局部极小元导出经典驻点系统，并通过梯度投影法求解所考虑问题。所得算法的收敛性在函数空间框架下得到证明。还表明，所建立的一阶必要最优性条件意味着局部最优叠加算子与常用激活函数共享多种特征性质：它们总是 S 形的、在原点外连续可微，且通常在零点具有明显扭折。论文以证实理论发现的数值实验作结。