关于拉梅微分方程的希尔判别式

拉梅微分方程是二阶线性微分方程,具有含雅可比椭圆函数 ${\rm sn}$ 的周期系数,该函数依赖于模数 $k$ 以及另外两个参数 $h$ 和 $\nu$。该微分方程出现在若干应用中,例如周期势中耦合粒子的运动。拉梅方程周期解的存在性与稳定性由其希尔判别式 $D(h,\nu,k)$ 的值决定。将希尔判别式与一显式已知量进行比较,并给出显式误差界。该结果源于如下观察:当 $k=1$ 时拉梅方程可用超几何函数求解,因为此时椭圆函数 ${\rm sn}$ 退化为双曲正切函数。超几何函数间的连接关系从而允许用简单表达式近似希尔判别式。特别地,当模数 $k$ 趋于 $1$ 时,可获得 $D(h,\nu,k)$ 的渐近近似。