球面上的高阶共形协变算子

我们将证明，在 $S^n$ 上标准度量 $g_{S^n}$ 的共形类中，当 $n$ 为奇数且 $m=\frac{n+1}{2}$ 或 $\frac{n+3}{2}$ 时，缩放不变泛函 $(\mu_g(S^n))^{\frac{2m-n}{n}}\int_{S^n}Q_{2m,g}d\mu_g$ 在 $g_{S^n}$ 处取极大值。对于 $n$ 为奇数且 $m\geq\frac{n+5}{2}$，$g_{S^n}$ 不稳定，且该泛函没有局部极大值点。这里 $Q_{2m,g}$ 是第 $2m$ 阶 $Q$-曲率。