关于 Levinson log log 定理的高维调和类比

设 $M\colon (0,1) \to [e,+\infty)$ 为一个递减函数，且满足 $\int\limits_{0}^{1}\log\log M(y)dy<+\infty$。考虑所有在 $P:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^n: x\in \mathbb{R}^{n-1}, y\in \mathbb{R}, |x|<1, |y|<1 \}$ 内调和并满足 $|u(x,y)| \leq M(|y|)$ 的函数 $u$ 构成的集合 $H_M$。我们证明 $H_M$ 是 $P$ 中的正规族。