论通过随机映射逼近有限域上多项式的启发式

对有限域上函数的迭代及其相应函数图的研究是一个不断发展的领域，并与密码学相关。此类迭代的行为经常通过所谓的Brent-Pollard启发式来近似，该启发式将函数视为随机映射。我们旨在理解这一启发式，并关注有限域上多项式的函数图节点的期望rho长度。由于一类函数的入度（原像大小）分布似乎在其平均rho长度中起核心作用，我们调查了有限域上多项式的已知结果，给出了新证明并改进了四次多项式的一种情况。我们通过将实验结果与由入度分布的不同限制定义的随机映射模型的已知估计进行比较，讨论了该启发式对许多类多项式的有效性。我们证明一般多项式和映射的入度分布具有相似的渐近性质，包括相同的渐近平均合并数。这些结果与我们的实验相结合表明，这些多项式表现得像随机映射，扩展了仅对次数 $2$ 已知的启发式。我们数值上显示，有限域上次数 $d \geq 2$ 的Chebyshev多项式的行为与各自类中其他多项式形成鲜明对比。