关于秩度量下码等价问题的困难性

近年来，编码理论中秩度量的概念在空间时间编码、网络编码或公钥密码学等应用方面出现了许多有趣的发展。这些应用引起了学界对该类码理论性质的兴趣，例如秩度量下解码的困难性。在与给定度量相关联的码的经典问题中，码等价（判定两个码是否等距）的概念一直最受关注，因其密码学应用及其与图同构问题的深刻联系。在本文中，我们讨论 $\mathbb{F}_{q^m}$-线性与一般的秩度量码在秩度量下的码等价问题的困难性。在 $\mathbb{F}_{q^m}$-线性情形下，我们将底层问题归约到另一个称为{\em 矩阵码右等价问题}的问题。我们证明后者问题属于 $\mathcal{P}$ 或 $\mathcal{ZPP}$，取决于基域大小。这是通过设计一个以线性代数与有限域上多项式分解为基本例程的算法得到的。结果表明，最困难的实例涉及具有非平凡{\em 稳定子代数}的码。后一种情形的解决将涉及有限维代数与 Wedderburn–Artin 理论相关的工具。有趣的是，30 年前理论计算机科学的一个重要趋势是设计算法使该理论的主要结果有效化。这些算法结果在本文中被证明特别有用。最后，对于一般矩阵码，我们证明等价问题（左与右）至少与广受研究的带 Hamming 度量的码的{\em 单项等价问题}一样困难。