关于 ${\rm{Aut}}(F_N)$ 的自由因子图的几何

设 $\Phi$ 为具有一个边界分支的紧致（可能不可定向）曲面 $\Sigma$ 的伪 Anosov 微分同胚。我们证明，如果 $b \in \pi_1(\Sigma)$ 是边界词，$\phi \in {\rm{Aut}}(\pi_1(\Sigma))$ 是 $\Phi$ 的固定 $b$ 的代表元，且 ${\rm{ad}}_b$ 表示 $b$ 的共轭作用，则 $\langle \phi, {\rm{ad}}_b \rangle\cong\mathbb{Z}^2$ 在 $\pi_1(\Sigma)$ 的自由因子图中的轨道是拟等距嵌入的。由此可得，对于 $N \geq 2$，${\rm{Aut}}(F_N)$ 的自由因子图不是双曲的，这与 ${\rm{Out}}(F_N)$ 的情形形成对比。