关于 Ising 纯 $p$ 互易玻色子的 Gardner 相变

我们证明了在有限温度下，对均场 Ising 互易玻色子存在一种一步副对称破缺（1RSB），并确定了 Gardner 相变的第一个临界温度。具体而言，Gardner conjectured 对于 $p\geq 3$ 的 Ising 纯 $p$ 互易玻色子，存在两个相变：在高温时，Parisi 测度满足副对称性（RS），随后在较低温度转为一种副对称性破缺（1RSB），最终在极低温度达到完全副对称性破缺（FRSB）。我们的主要结果验证了 Gardner 相变的前半部分：对于任意 $p \geq 3$，存在唯一的 $\beta^p_1>0$，使得在 $0 < \beta \leq \beta^p_{1}$ 时，Parisi 测度满足副对称性，而在 $\beta^p_1 < \beta \leq \beta^p_1+\epsilon_p$（其中 $\epsilon_p>0$）时，Parisi 测度满足一种副对称性破缺。我们还提供了一种计算方法来定位 $\beta^p_1$。