具有 Rademacher 先验的带噪随机张量中的相变

我们考虑从对称高斯随机 $p$-张量 $(p\geq 3)$ 中检测由 Rademacher 先验采样得到的秩一张量扰动的问题。最近 Lesieur 等人 (2017) 证明,存在一个临界阈值 $\beta_p$,使得当信噪比超过 $\beta_p$ 时,可以通过最小均方误差方法区分带噪与不带噪张量并弱恢复先验。另一方面,Perry、Wein 和 Bandeira (2017) 证明存在一个 $\beta_p'<\beta_p$,使得当信噪比小于 $\beta_p'$ 时,任何统计假设检验都无法区分这两种张量,即它们的全变距离渐近趋于零。在本工作中,我们证明 $\beta_p$ 确实是在全变距离下严格分离两种张量可区分与不可区分的临界阈值。我们的方法基于对初始源于自旋玻璃领域的 Ising 自旋纯 $p$-自旋模型高温行为的精细分析。特别地,我们将信噪比临界值 $\beta_p$ 识别为 Ising 纯 $p$-自旋平均场自旋玻璃模型区分高温与低温行为的临界温度。