正特征下对称张量范畴的 Frobenius 函子

我们为域 $\bf k$（特征为 $p$）上的对称张量范畴（STC）$\mathcal{C}$ 发展了 Frobenius 函子理论，并给出其在此类范畴分类中的应用。即，我们定义一个扭曲线性对称幺半函子 $F: \mathcal{C}\to \mathcal{C}\boxtimes {\rm Ver}_p$，其中 ${\rm Ver}_p$ 是 Verlinde 范畴（${\rm Rep}_{\bf k}(\mathbb{Z}/p)$ 的半单化）。这推广了模表示论中的通常 Frobenius 扭函子以及 arXiv:1503.01492 中定义的函子，后者用于证明若 $\mathcal{C}$ 是有限且半单的，则其容许一个到 ${\rm Ver}_p$ 的纤维函子。主要新特征是当 $\mathcal{C}$ 不是半单时，$F$ 不必是左正合或右正合的，事实上这种正合性的缺失是 $\mathcal{C}\to {\rm Ver}_p$ 的纤维函子存在的主要障碍。然而我们证明存在一个 6-周期长正合列作为 $F$ 正合性的替代，并用它证明对于具有有限多个单对象的范畴，$F$ 不增加 Frobenius-Perron 维数。我们还定义了 Frobenius 正合范畴的概念，即 $F$ 在其上正合的 STC，并在任意具有有限多个单对象的 STC $\mathcal{C}$ 内定义了典范极大 Frobenius 正合子范畴 $\mathcal{C}_{\rm ex}$。即，这是由所有 Frobenius-Perron 维数被 $F$ 保持的对象组成的子范畴。我们证明有限 STC 是 Frobenius 正合的当且仅当其容许一个（必唯一的）到 ${\rm Ver}_p$ 的纤维函子。我们还证明 $F$ 的足够大幂次落入 $\mathcal{C}_{\rm ex}$。此外，在特征 2 下我们引入稍弱的几乎 Frobenius 正合范畴概念，并证明具有 Chevalley 性质的 STC 是（几乎）Frobenius 正合的。