关于 $r$-多重链细分的 $f$-向量

对偏序集 $P$ 与整数 $r\geq 1$，令 $P_r$ 为 $P$ 中所有 $r$-多重链的集合。对应于每个严格递增映射 $\i:[r]\rightarrow [2r]$，在 $P_r$ 上存在一个序 $\preceq_{\i}$。令 $\D(G_{\i}(P_r))$ 为与 $P_r$ 及 $\i$ 关联的图 $G_{\i}$ 的团复形。在最近一篇论文 \cite{NW} 中，作者证明对一类严格递增映射，$\D(G_{\i}(P_r))$ 是 $P$ 的一个细分。本文中，我们证明所有这些细分具有相同的 $f$-向量。当 $P$ 为 $\D$ 的面偏序集时，我们给出了从 $\Delta$ 的 $f$-与 $h$-向量到这些细分的 $f$-与 $h$-向量的变换矩阵的显式描述。我们研究了两个重要的细分——Cheeger-M"{u}ller-Schrader 细分与 $r$-着色重心细分，它们均属于我们的 $r$-多重链细分类。