关于区间内孪生素数存在性的研究

令 $S_{(x,y]} = \left\{\frac{p_n}{p_{n+1}-2} :~ n\in I \right\}$，其中 $I = \left\{n :~ x<p_n \le y \right\}$，$p_n$为第$n$个素数且 $x, y \in \mathbb{R}_{>0}$。若 $M_\alpha(x,y)$ 表示 $S_{(x,y]}$ 元素的 $\alpha$ 次幂平均，则表明：若对充分大的 $y$ 有 $\displaystyle \lim_{\alpha \rightarrow \infty}M_{\alpha}(x,y) > 1 - 2/y + O(y^{-2})$，则蕴含 $(x,y]$ 中存在孪生素数对。对 $y$ 的特殊选取，我们还得到该平均的一个下界：$\displaystyle \lim_{\alpha \rightarrow \infty}M_{\alpha}(x,x^\beta)>1-c/x^\beta+O(x^{-\beta}\log^{-1} x)$，其中常数 $c>0$ 且 $\beta = 1+c/\log^2 x$ 或等价地 $x^\beta=x+cx/\log x+O(x/\log^2 x)$。当 $c<2$ 时，$\displaystyle \lim_{\alpha \rightarrow \infty}M_{\alpha}(x,x^\beta)$ 的下界满足区间 $(x,x^\beta]$ 内存在孪生素数的不等式条件。