论具有处处好约化的阿贝尔曲面的存在性

设 $D \le 2000$ 为正判别式，使得 $F = \mathbf{Q}(\sqrt{D})$ 具有窄类数一，且 $A/F$ 为具有处处好约化的 ${\rm GL}_2$-型阿贝尔曲面。假设 $A$ 是模的，我们证明除 $D = 353, 421, 1321, 1597$ 和 $1997$ 外，$A$ 或是 $F$-曲面，或是某个阿贝尔曲面 $B$ 从 $\mathbf{Q}$ 的基变换，其中 ${\rm End}_{\mathbf{Q}}(B) = \mathbf{Z}$。在后一种情形，我们证明对于 $D = 353, 421$ 和 $1597$，在 $F$ 上确实存在处处好约化的阿贝尔曲面，它们与其 Galois 共轭不同构。这些是已知的首批此类例子。