关于Bouleau和Hirsch的能量像密度猜想

我们肯定地解决了Bouleau和Hirsch(1986)的能量像密度猜想。在Dirichlet结构的原始框架之外，我们在几个相关设定中建立了能量像密度性质。特别地，我们阐述了一个性质版本，它涵盖了强局部、正则Dirichlet型、由上梯度定义的Sobolev空间以及分形上的自相似能量，从而将它们统一在一个框架下。作为应用，我们证明了满足次高斯热核估计的扩散过程的鞅维数的有限性，并获得了Cheeger关于PI空间中可微性图集的像的Hausdorff维数猜想的一个新证明。能量像密度性质的证明基于De Philippis--Rindler关于$\mathbb{R}^n$中测度和法向流形的结构定理，以及Alberti--Marchese的可分解束概念和Alberti--Csörnyei--Preiss与Bate的锥零集概念。