Hardy $Z$-函数正负值的分布

我们研究 Hardy 函数 $$Z(t) := \zeta(1/2+it){\chi(1/2+it)}^{-1/2}, \quad \zeta(s) = \chi(s)\zeta(1-s)$$ 的正值与负值的分布。特别地，我们证明 $$\mu\bigl(I_{+}(T,T)\bigr) \;\gg T\; \qquad \hbox{且}\qquad \mu\bigl(I_{-}(T, T)\bigr) \; \gg \; T,$$ 其中 $\mu(\cdot)$ 表示勒贝格测度，且 \begin{align*} { I}_+(T,H) &\;=\; \bigl\{T< t\le T+H\,:\, Z(t)>0\bigr\}, { I}_-(T,H) &\;=\; \bigl\{T< t\le T+H\,:\, Z(t)<0\bigr\}. \end{align*}