关于微分方程 $\frac{d}{dt}\left(\frac{\cos x}{1-\dot{x}}\right)\,=\,-\sin x$
经典分析与常微分方程
2014-07-15 v1
摘要
标题中的自治微分方程源自 S.Srinivasan~\cite{ss05}（~\cite{ss05}中的方程 (E)），其背景是数论考量中的某些离散和。这些离散和随后通过涉及该微分方程解的积分进行估计；但在~\cite{ss05}中未对该积分进行分析。我们的主要目标是从动力系统的角度考察该方程，并描述相平面中的所有轨道。该方程是奇异的，因为的系数在少数点处为零或变为无界。这种奇异性对初始数据施加了限制。然而，我们以显式形式获得的解是光滑的，并逐点或在极限意义上满足该方程。解的显式形式也可用于分析~\cite{ss05}中的积分。该方程拥有无穷多个平衡点或临界点，且在相平面的一部分中，每个点周围都存在周期轨道。在该部分相平面的补集中，存在非周期轨道，其中任意两条轨道都有无穷多个公共点。然而，这与正则自治系统中任意两条（不同）轨道互不相交的事实形成鲜明对比，从而突显了该方程的奇异性质。
引用
@article{arxiv.1407.3597,
title = {On the Differential Equation $\frac{d}{dt}\left(\frac{\cos x}{1-\dot{x}}\right)\,=\,-\sin x$},
author = {P. S. Datti and B. R. Nagaraj},
journal= {arXiv preprint arXiv:1407.3597},
year = {2014}
}