关于相对论玻尔兹曼方程的行列式问题

本文考虑了关于质心坐标系中相对论玻尔兹曼方程雅可比行列式的一个长期未决的开放问题。对于牛顿玻尔兹曼方程，质心坐标系在牛顿非截断玻尔兹曼方程的研究中发挥了重要作用，特别地，我们提及 Alexandre 等人（Arch. Ration. Mech. Anal. 152(4):327-355, 2000）广泛使用的消去引理。在本文中，我们具体计算了相对论碰撞映射从动量 $p$ 到碰撞后动量 $p'$ 的、含十个变量的非常复杂的雅可比行列式；具体地，我们计算了对于 $\theta \in [0,1]$ 的 $p\mapsto u = \theta p'+\left(1-\theta\right)p$ 的行列式。随后我们给出了该行列式的一个上界，该上界在 $p$ 和 $q$ 变量中均无奇异性。接下来我们给出一个例子，其中我们证明了雅可比行列式在某一特定逐点极限下趋于零。我们进一步解释了我们的数值研究结果，该研究表明雅可比行列式有非常大量的不同点使其为机器零。这推广了 Glassey-Strauss（Transport Theory Statist. Phys. 20(1):55-68, 1991）和 Guo-Strain（Comm. Math. Phys. 310(3):649-673, 2012）的工作。这些结论使得设想质心坐标系中牛顿消去引理的直接相对论类比变得困难。