关于 Pólya 瓮图过程的度分布

本文给出了任意 Pólya 瓮图过程度分布的一个更紧致的界，证明了度为 $d$ 的顶点比例服从幂律分布 $P(d) \propto d^{-\gamma}$，适用于 $d \leq n^{\frac{1}{6}-\epsilon}$（其中 $\epsilon > 0$，$n$ 代表网络中的顶点数）。Bollob\'{a}s 等人之前的工作形式化了 Barab\'{a}si 和 Albert 著名的优先连接模型，并表明幂律分布在 $d \leq n^{\frac{1}{15}}$ 且 $\gamma = 3$ 时成立。我们修订后的界代表了现有无标度网络度分布模型的显著改进，其紧致性此前受限于鞅的 Azuma-Hoeffding 浓度不等式。通过对网络生成过程中第一组顶点的仔细分析，我们实现了这一更紧致的界，并表明新获得的界在某种意义上已触及 Bollobás 模型的极限，因为对于其他幂次，度期望值将失效。