微分博弈的分解

为理解微分博弈中学习动力学的复杂性，我们将其分解为动力学已得到充分理解的组分。可能的工具之一是Helmholtz定理，它可以将向量场分解为势函数分量与调和分量。这一方法在有限博弈和正规形式博弈中已被证明有效。然而，由于$\mathbb{R}^n$（即微分博弈的策略空间）的非紧性，将Helmholtz定理与$\mathbb{R}^n$上的Hodge定理联系起来并非易事。通过Hodge/Helmholtz定理弥合微分博弈中动力学与策略之间的脱节问题此前一直是一个开放问题。在本文中，我们提供了微分博弈的两种分解：第一种为精确标量势部分、近似向量势部分和非策略部分；第二种为近似标量势部分、精确向量势部分和非策略部分。我们证明标量势博弈与Monderer-Shapley提出的势博弈一致，其中梯度下降动力学可以成功找到Nash均衡。对于向量势博弈，我们证明个体梯度场是无散的，在此情况下梯度下降动力学可能发散或回归。