均匀无权集覆盖：非盲目局部搜索的力量

给定 $n$ 个基元素和这些元素的一个有限子集族。任何子集的大小在 $p$ 到 $k$ 之间变化（$p < k$）。此外，我们假设输入包含所有大小为 $p$ 的子集。我们的目标是找到一个覆盖所有元素的最小基数子族。该问题已知是 NP-难的。我们为其提供了两个近似算法，一个用于一般情况，另一个针对 $(p,k) = (2,4)$ 的特殊情况进行了改进。一般情况的算法是一种基于打包阶段的贪心算法：在每个阶段，我们选取一组覆盖 $i$ 个新元素的不相交子集，从 $i = k$ 开始向下到 $i = p+1$。最后一步，我们用大小为 $p$ 的子集覆盖剩余的基元素。我们推导了该算法对所有 $k$ 和 $p$ 值的精确性能保证，该保证小于 $H_k$，其中 $H_k$ 是第 $k$ 个调和数。然而，该算法展示了针对无权 $k$-集覆盖问题（其中子集大小仅限制为不超过 $k$）的已知优于贪心算法的改进方法，因此它作为我们改进算法的基准。针对 $(p,k) = (2,4)$ 特殊情况的改进算法基于非盲目局部搜索：它从一个可行覆盖开始，然后反复尝试替换大小为 3 和 4 的集合，以最大化一个偏好大集合胜过小集合的目标函数。对于这种情况，我们的通用算法达到了 $1.5 + \epsilon$ 的渐近近似比，而局部搜索算法达到了一个更好的比率，该比率被限定为 $1.458333\ldots + \epsilon$。