On the cusp anomalous dimension in the ladder limit of $\mathcal N=4$ SYM

我们分析了 $\mathcal N=4$ SYM 的（领头）阶梯极限中的尖点反常维度，并给出了其高阶微扰展开的新结果。我们研究了关于尖点角 $\phi$ 的两种不同极限。第一种是类光情形，其中 $x = e^{i\,\phi}\to 0$。该极限的特征是尖点反常维度以 $\log x$ 的幂次和形式展开，其中最大指数随圈阶数增加。该展开的系数具有显著的超越性特征，并可用单 zeta 值的乘积表示。我们证明整个对数展开可由一个可解的类 Woods-Saxon 一维势完全描述。通过精确解，我们提取了尖点反常维度以及其中出现的各种特定超越结构的生成函数。我们讨论的第二种极限是小尖点角情形。在这个相对简单的情况下，我们展示了如何通过为相关 Schr\"odinger 问题的基态构造合适的全阶 Ansatz，以一种新的高效方式组织量子力学微扰论。我们的微扰框架允许以尖点角幂次的形式系统推导高阶微扰修正，作为有效耦合的非微扰显式函数。将该级数近似与 Schr\"odinger 方程的数值解进行比较，表明我们在整个耦合和尖点角范围内都能达到非常好的精度。我们的结果通过相对简单的技术获得。尽管如此，它们提供了若干非平凡检验，有助于检查量子谱曲线方法在我们所研究的两种非零 $\phi$ 阶梯近似中的应用。